5 电光调制

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5.1 电光效应的基本原理

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5.1.1 电光效应的分类

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• 定义：外加静态或低频电场导致介质介电张量（或折射率）变化的现象，分为两类：
  1. 线性电光效应（泡克尔斯效应）：折射率变化与电场强度成正比（$\Delta n \propto E_0$），仅存在于非中心对称晶体（中心对称晶体中线性项抵消，$r_{ijk}=0$）。
  2. 二次电光效应（克尔效应）：折射率变化与电场强度平方成正比（$\Delta n \propto E_0^2$），所有介质均存在。
• 核心物理量：相对不渗透性张量$\eta = \varepsilon_r^{-1}$（$\varepsilon_r$为相对介电张量），电场诱导的变化为： $$\eta_{ij}(E_0) = \eta_{ij} + \sum_k r_{ijk}E_{0k} + \sum_{k,l} s_{ijk l}E_{0k}E_{0l}$$ 其中$r_{ijk}$为泡克尔斯系数（18个独立分量，晶体对称性会减少），$s_{ijk l}$为克尔系数。

5.1.2 折射率椭球的变化

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• 无电场时：折射率椭球为$\frac{x^2}{n_x^2} + \frac{y^2}{n_y^2} + \frac{z^2}{n_z^2} = 1$（$\eta_{ij}$为对角矩阵）。
• 有电场时：$\eta_{ij}$出现非对角元，椭球方程变为： $$(\eta_1+\Delta\eta_1)x^2 + (\eta_2+\Delta\eta_2)y^2 + (\eta_3+\Delta\eta_3)z^2 + 2\Delta\eta_4yz + 2\Delta\eta_5zx + 2\Delta\eta_6xy = 1$$ 需通过坐标旋转消除交叉项，得到新的主轴$\hat{X},\hat{Y},\hat{Z}$和对应的主折射率$n_X,n_Y,n_Z$，即电场导致主轴旋转和折射率改变。

5.1.3 典型晶体的泡克尔斯系数

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1. KDP晶体（42m点群）：
   • 光学性质：单轴晶体，$n_x=n_y=n_o$（寻常折射率），$n_z=n_e$（非寻常折射率）。
   • 非零泡克尔斯系数：$r_{41}=r_{52}$，$r_{63}$（仅3个独立分量）。
2. 铌酸锂晶体（$LiNbO_3$，3m点群）：
   • 光学性质：单轴晶体，$n_x=n_y=n_o$，$n_z=n_e$。
   • 非零泡克尔斯系数：$r_{13}=r_{23}$，$r_{33}$，$r_{42}=r_{51}$，$r_{12}=r_{61}=-r_{22}$（8个非零分量，4个独立）。

补充光学例子：

• 中心对称晶体（如硅、玻璃）：无泡克尔斯效应，仅存在克尔效应，常用于光开关（需高电场）；
• 非中心对称晶体（如KDP、$LiNbO_3$）：泡克尔斯效应显著，是高速电光调制器的核心材料。

5.2 典型晶体的电光调制

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5.2.1 KDP晶体的电光调制

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以电场沿$z$轴（光轴）为例，分析纵向和横向调制：

1. 折射率椭球变化： 电场$E_{0z}\neq0$时，椭球方程为$\frac{x^2}{n_o^2} + \frac{y^2}{n_o^2} + \frac{z^2}{n_e^2} + 2r_{63}E_{0z}xy = 1$，旋转45°后消除交叉项，新主轴折射率：

   $$n_X \approx n_o - \frac{1}{2}n_o^3r_{63}E_{0z}, \quad n_Y \approx n_o + \frac{1}{2}n_o^3r_{63}E_{0z}, \quad n_Z = n_e$$

2. 纵向调制（光传播方向∥电场，$z$方向）：

   • 相位延迟：$\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta n \cdot l = \frac{2\pi}{\lambda}n_o^3r_{63}V$（$V=E_{0z}l$，$l$为晶体长度）。
   • 半波电压：$V_\pi = \frac{\lambda}{2n_o^3r_{63}}$（与晶体长度无关）。
   • 特点：半波电压高（KDP的$V_\pi≈1.38×10^4V$），电极需透明（难制备）。

3. 横向调制（光传播方向⊥电场，如$x$方向）：

   • 相位延迟：$\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}[(n_o - n_e)l + \frac{1}{2}n_o^3r_{63}V\frac{l}{d}]$（$d$为电极间距）。
   • 半波电压：$V_\pi = \frac{\lambda d}{2n_o^3r_{63}l}$（与$\frac{d}{l}$成正比，可通过增大$\frac{l}{d}$降低$V_\pi$）。
   • 缺点：存在固有双折射（$n_o - n_e$），受温度影响大（$\Delta T=1℃$时$\Delta\varphi≈\pi$），需用双晶体补偿。

5.2.2 $LiNbO_3$晶体的电光调制

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以电场沿$z$轴为例：

1. 折射率椭球变化： 电场$E_{0z}\neq0$时，无交叉项，主轴不变，折射率为：

   $$n_x=n_y≈n_o - \frac{1}{2}n_o^3r_{13}E_{0z}, \quad n_z≈n_e - \frac{1}{2}n_e^3r_{33}E_{0z}$$

   （晶体仍为单轴晶体，无主轴旋转）。

2. 横向调制（光传播方向⊥电场，如$x$方向）：

   • 相位延迟：$\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}[(n_o - n_e)l + \frac{1}{2}(n_e^3r_{33} - n_o^3r_{13})V\frac{l}{d}]$。
   • 特点：$r_{33}≈3.6r_{13}$，$n_e≈n_o$，调制效率高于KDP，半波电压更低，是集成调制器的常用材料。

补充光学例子：

• KDP纵向调制器：用于高电压控制的光开关（如激光核聚变装置）；
• $LiNbO_3$横向调制器：用于光纤通信中的高速信号调制（速率可达25GHz）。

5.3 电光调制器的类型

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5.3.1 相位调制器

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• 结构：偏振器 + 电光晶体 + 电极（无检偏器）。
• 原理：输入线偏振光沿晶体新主轴传播，电场改变折射率，导致光的相位随电压变化：$\varphi(V) = \varphi_0 + \Delta\varphi(V)$。
• 输出特性：光强不变，相位随电压线性变化（小信号下）。
• 应用：光纤陀螺（相位偏移调制）、激光锁模（相位调制产生边带）。

5.3.2 偏振调制器

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• 结构：输入光偏振方向与晶体主轴成一定角度（非平行），无检偏器。
• 原理：电场诱导双折射，两正交偏振分量产生相位差$\Delta\varphi(V)$，输出光偏振态随电压变化（线性→椭圆→圆偏振）。
• 半波电压：$V_\pi$对应$\Delta\varphi=\pi$，输出偏振方向旋转90°。
• 应用：偏振态控制器、光隔离器前置调制。

5.3.3 振幅调制器

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• 结构：偏振器 + 电光晶体 + 检偏器（两偏振器正交或45°）。
• 原理：电场诱导的相位差$\Delta\varphi(V)$通过偏振干涉转化为振幅变化，透射率： $$T = \sin^2\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right) = \frac{1}{2}(1 - \cos\Delta\varphi)$$
• 线性化：需引入$\pi/2$相位偏置（如加 quarter-wave 片或偏置电压），使小信号下$T \propto V$。
• 应用：光纤通信中的强度调制（如QPSK信号生成）、激光显示的亮度控制。

补充光学例子：

• 振幅调制器：$LiNbO_3$马赫-曾德尔振幅调制器，插入损耗≤5dB，消光比≥20dB，工作波长1520-1625nm；
• 相位调制器：用于光纤陀螺的$LiNbO_3$波导相位调制器，调制带宽≥5GHz。

5.4 波导型电光调制器

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5.4.1 核心特点

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• 结构：波导（通道波导或平面波导）+ 表面电极（电场垂直或平行于波导）。
• 优势：光场约束在波导内，电场与光场重叠因子$\Gamma$大，半波电压低（$V_\pi≤5V$），集成度高，调制带宽宽（可达数十GHz）。
• 理论基础：耦合模理论，电场诱导介电张量变化$\Delta\varepsilon$，导致波导模式的传播常数变化$\Delta\beta = \omega\iint\hat{\mathcal{E}}_v^*\cdot\Delta\varepsilon\cdot\hat{\mathcal{E}}_v dxdy$。

5.4.2 典型波导调制器

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1. 马赫-曾德尔（M-Z）干涉型调制器：

   • 结构：Y型分束器 + 两条平行波导臂（均为相位调制器）+ Y型合束器。
   • 原理：两臂施加反相电压（推挽操作），产生相位差$\Delta\varphi = \pi\frac{V}{V_\pi}$，输出光强： $$T = \frac{1}{2}(1 + \cos\Delta\varphi)$$
   • 特性：无固有双折射影响，消光比高（≥25dB），是光纤通信的核心调制器。

2. 定向耦合器型光开关：

   • 结构：两条平行波导，电极施加电压改变折射率。
   • 原理：无电压时，光在两波导间耦合（交叉态，$T=1$）；加电压后引入相位失配$\delta$，耦合效率$\eta=0$（平行态）。
   • 开关电压：$V_s = \sqrt{3}V_\pi$（对称耦合器），切换速度快（ns级）。

3. 波导偏振调制器：

   • 结构：波导 + 周期电极（补偿TE/TM模式的相位失配）。
   • 原理：电场诱导TE-TM模式耦合，实现偏振态转换或调制，需满足相位匹配$K = |\beta_{TE} - \beta_{TM}|$（$K=2\pi/\Lambda$为光栅波数）。

补充光学例子：

• 集成M-Z调制器：硅基$LiNbO_3$波导调制器，工作速率25Gb/s，插入损耗≤5dB，用于数据中心光互连；
• 定向耦合器开关：用于光交换网络，实现1×2或2×2光路切换，切换时间<10ns。

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期末复习题（简答+计算）

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一、简答题

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1. 简述泡克尔斯效应与克尔效应的区别及适用介质。

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答案：

• 区别：泡克尔斯效应是线性电光效应（$\Delta n \propto E_0$），克尔效应是二次电光效应（$\Delta n \propto E_0^2$）；泡克尔斯效应存在相位滞后（主轴旋转），克尔效应无主轴旋转仅折射率变化。
• 适用介质：泡克尔斯效应仅存在于非中心对称晶体（如KDP、$LiNbO_3$）；克尔效应存在于所有介质（中心对称晶体、液体、气体等）。

2. 什么是纵向电光调制和横向电光调制？它们的核心差异是什么？

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答案：

• 纵向调制：光的传播方向与外加电场方向平行（$l$为晶体长度，$V=E_0l$）；
• 横向调制：光的传播方向与外加电场方向垂直（$d$为电极间距，$V=E_0d$）；
• 核心差异：纵向调制的半波电压$V_\pi$与晶体长度$l$无关（$V_\pi=\lambda/(2n^3r)$），横向调制的$V_\pi$与$\frac{d}{l}$成正比（$V_\pi=\lambda d/(2n^3r l)$），可通过增大$\frac{l}{d}$降低$V_\pi$。

3. 电光振幅调制器为何需要引入$\pi/2$相位偏置？常用偏置方法有哪些？

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答案：

• 原因：无偏置时，透射率$T=\sin^2(\Delta\varphi/2)$呈非线性（余弦特性），小信号下失真；引入$\pi/2$偏置后，工作点位于$T=0.5$，小信号下$T \propto V$，实现线性调制。
• 偏置方法：1. 施加固定偏置电压$V=V_\pi/2$；2. 在晶体与检偏器间插入1/4波片（引入固定$\pi/2$相位差）。

4. 简述马赫-曾德尔（M-Z）干涉型调制器的工作原理。

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答案：

• 结构：输入光经Y型分束器分为两束，分别在两条平行波导臂中传播（臂上电极施加反相电压），最后经Y型合束器干涉输出。
• 原理：电压诱导两臂产生相位差$\Delta\varphi = \pi V/V_\pi$，输出光强$T=\frac{1}{2}(1+\cos\Delta\varphi)$；$V=0$时$\Delta\varphi=0$，$T=1$（通）；$V=V_\pi$时$\Delta\varphi=\pi$，$T=0$（断），实现强度调制。
• 优势：无固有双折射影响，消光比高，调制带宽宽。

5. 波导型电光调制器相比体材料调制器的优势是什么？

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答案：

• 光场约束强：光场集中在波导内，与电极电场的重叠因子$\Gamma$大，调制效率高；
• 半波电压低：体材料调制器$V_\pi$通常为kV级，波导型可降至几V，驱动电压低；
• 集成度高：可与波导分束器、合束器集成，体积小，适合光芯片应用；
• 调制带宽宽：电极长度短，寄生电容小，调制速率可达数十GHz。

6. 为何中心对称晶体没有泡克尔斯效应？

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答案：

• 中心对称晶体的物理性质具有中心反演对称性（$r \to -r$时，$\varepsilon_{ij}$不变）；
• 泡克尔斯效应中，$\Delta\eta_{ij} \propto E_0$，中心反演后$E_0 \to -E_0$，$\Delta\eta_{ij} \to -\Delta\eta_{ij}$；
• 由于$\varepsilon_{ij}$不变，$\Delta\eta_{ij}$必须为零，故中心对称晶体中泡克尔斯系数$r_{ijk}=0$，无线性电光效应。

二、计算题

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1. 一KDP晶体纵向电光调制器，$n_o=1.51$，$r_{63}=10.5pm/V$，工作波长$\lambda=1\mu m$，求半波电压$V_\pi$；若晶体长度$l=2cm$，电场$E_{0z}=10^4V/m$，求相位延迟$\varphi$。

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答案：

• 纵向半波电压公式：$V_\pi = \frac{\lambda}{2n_o^3r_{63}}$ 代入数据：$n_o^3=1.51^3≈3.442$，$r_{63}=10.5×10^{-12}m/V$，$\lambda=1×10^{-6}m$： $$V_\pi = \frac{1×10^{-6}}{2×3.442×10.5×10^{-12}} ≈ \frac{1×10^{-6}}{7.228×10^{-11}} ≈ 13835V ≈ 13.8kV$$
• 相位延迟公式：$\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}n_o^3r_{63}E_{0z}l$ 代入$E_{0z}=10^4V/m$，$l=0.02m$： $$\varphi = \frac{2×3.14}{1×10^{-6}}×3.442×10.5×10^{-12}×10^4×0.02 ≈ 6.28×3.442×10.5×2×10^{-6} ≈ 4.5rad$$

2. 一$LiNbO_3$横向电光调制器，$n_e=2.2$，$r_{33}=30.8pm/V$，晶体长度$l=1cm$，电极间距$d=0.1mm$，工作波长$\lambda=1.55\mu m$，求半波电压$V_\pi$。

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答案：

• 横向半波电压公式（TM偏振，电场沿$z$轴）：$V_\pi = \frac{\lambda d}{2n_e^3r_{33}l}$ 代入数据：$n_e^3=2.2^3≈10.648$，$r_{33}=30.8×10^{-12}m/V$，$\lambda=1.55×10^{-6}m$，$d=0.0001m$，$l=0.01m$： $$V_\pi = \frac{1.55×10^{-6}×0.0001}{2×10.648×30.8×10^{-12}×0.01} ≈ \frac{1.55×10^{-10}}{6.52×10^{-12}} ≈ 23.8V$$

3. 一马赫-曾德尔调制器，半波电压$V_\pi=5V$，输入光强$I_0$，求：

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（1）偏置电压$V=V_\pi/2$时，输出光强$I_{out}$； （2）调制电压$V=V_\pi/2 + 1V$（小信号）时，输出光强的变化量$\Delta I$。 答案：

• （1）输出光强公式：$I_{out} = \frac{I_0}{2}(1 + \cos\Delta\varphi)$，$\Delta\varphi = \pi\frac{V}{V_\pi}$ 当$V=V_\pi/2$时，$\Delta\varphi=\pi/2$，$\cos(\pi/2)=0$： $$I_{out} = \frac{I_0}{2}(1 + 0) = \frac{I_0}{2}$$
• （2）小信号时$V=V_\pi/2 + V_m$（$V_m=1V$），$\Delta\varphi=\pi/2 + \pi\frac{V_m}{V_\pi}$，利用$\cos(A+B)≈-\sin A \cdot B$（小$B$）： $$I_{out} ≈ \frac{I_0}{2}\left[1 - \sin(\pi/2) \cdot \pi\frac{V_m}{V_\pi}\right] = \frac{I_0}{2} - \frac{I_0 \pi V_m}{2V_\pi}$$ 变化量$\Delta I = I_{out} - \frac{I_0}{2} = -\frac{I_0×3.14×1}{2×5} ≈ -0.314I_0$（负号表示光强减小）。

4. 一KDP横向调制器，$n_o=1.51$，$r_{63}=10.5pm/V$，$\lambda=0.6328\mu m$，要求半波电压$V_\pi=100V$，求$\frac{l}{d}$的比值。

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答案：

• 横向半波电压公式：$V_\pi = \frac{\lambda d}{2n_o^3r_{63}l} \implies \frac{l}{d} = \frac{\lambda}{2n_o^3r_{63}V_\pi}$ 代入数据：$n_o^3≈3.442$，$r_{63}=10.5×10^{-12}m/V$，$\lambda=0.6328×10^{-6}m$，$V_\pi=100V$： $$\frac{l}{d} = \frac{0.6328×10^{-6}}{2×3.442×10.5×10^{-12}×100} ≈ \frac{0.6328×10^{-6}}{7.228×10^{-8}} ≈ 8.75$$ 即晶体长度需为电极间距的8.75倍。

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